자연수의 정의와 연산의 성질(2)

자연수의 정의와 연산의 성질(1)에 이어지는 글 입니다.

자연수의 곱셈을 정의하는데 덧셈에서 했던것과 같은 방법^[각주:1]으로 곱셈을 정의하도록 합시다.

<자연수간의 곱셈의 정의>
자연수 a,b에 대해서
(M1) a * 1 = a
(M2) a * b' = ( a * b ) + a

이 정의에 따라 2 * 3 을 계산해 보도록 합시다.

2 * 3 = 2 * 2'
 =( 2 * 2 )+ 2              (M2)
 =( 2 * 1') +2   
 =( ( 2 * 1 ) +2 ) +2     (M2)
 =(2+2)+2                  (M1)
 =6

이런 식으로 적용되게 됩니다.

그러면 곱셈에 대한 연산법칙들을 다루어볼 차례입니다.

<자연수의 곱셈에 대한 결합법칙>
모든 자연수 a,b,c에 대해서
a*(b*c)=(a*b)*c
가 성립한다.

<자연수의 곱셈에 대한 결합법칙>
모든 자연수 a,b에 대해서
a*b=b*a
가 성립한다.

<자연수의 곱셈의 덧셈 위로의 분배법칙>
모든 자연수 a,b,c에 대해서
a*(b+c) = (a*b) + (a*c)       (좌 분배법칙)
(a+b)*c = (a*c) + (b*c)       (우 분배법칙)
가 성립한다.

이 모든 것들은 수학적 귀납법으로 어렵지 않게 증명할 수 있습니다.
(절대 귀찮아서 안 올리는게 아님)





이로서 더하기와 곱하기를 덧셈에 대해서 모두 정의해 보았고 그에따른 우리가 자명하게 사용하던
연산법칙들을 증명을 해 보았습니다. 간단히 올려보려고 했는데 생각보다 길어졌네요.

1. 그러니까 귀납적으로 정의를 하자는 것입니다. [본문으로]